Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）當a=2時，試求函數圖線過點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）當a=1時，若關于x的方程f（x）=x+b有唯一實數解，試求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）有兩個極值點x1、x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x2﹣2x+2lnx，f′（x）=2x﹣2+ ， 則f（1）=﹣1，f'（1）=2，
所以切線方程為y+1=2（x﹣1），
即為y=2x﹣3．
（Ⅱ）a=1時，f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），
若關于x的方程f（x）=x+b有唯一實數解，
即b=x2﹣3x+lnx有唯一實數解，（x＞0），
令g（x）=x2﹣3x+lnx，（x＞0），
則g′（x）=2x﹣3+ = = ，
令g′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜ ，
令g′（x）＜0，解得： ＜x＜1，
故g（x）在（0， ）遞增，在（ ，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故g（x）極大值=g（ ）=﹣ ﹣ln2，g（x）極小值=g（1）═﹣2，
故b＞﹣ ﹣ln2，或b＜﹣2；
（Ⅲ）f′（x）=2x﹣2+ = （x＞0），
令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，
當△=4﹣8a＞0且a＞0，即0＜a＜ 時，由2x2﹣2x+a=0，得x1，2= ，
由f'（x）＞0，得0＜x＜ 或x＞ ；
由f'（x）＜0，得 ＜x＜ ，
故若函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，可得0＜a＜ ，
由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，則x1+x2=1，x1= ，x2= ，
由0＜a＜ ，可得0＜x1＜ ， ＜x2＜1，
= =
=1﹣x1+ +2x1lnx1 ，
令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），
h′（x）=﹣1﹣ +2lnx，
由0＜x＜ ，則﹣1＜x﹣1＜﹣ ， ＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣ ＜﹣1，
又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）遞減，
即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即 ＞﹣ ﹣ln2，
即有實數m的取值范圍為（﹣∞，﹣ ﹣ln2]
【解析】（Ⅰ）求當a=2時，函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；（Ⅱ）問題轉化為b=x2﹣3x+lnx有唯一實數解，（x＞0），令g（x）=x2﹣3x+lnx，（x＞0），根據函數的單調性求出g（x）的極值，從而求出b的范圍即可；（Ⅲ）函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，可得0＜a＜ ，不等式f（x1）≥mx2恒成立即為 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出導數，判斷單調性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．