Question

【題目】如圖，五面體ABCDE中，四邊形ABDE是菱形，△ABC是邊長為2的正三角形，∠DBA=60°， ．
（1）證明：DC⊥AB；
（2）若點C在平面ABDE內的射影H，求CH與平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取AB的中點O，連OC，OD，

因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以 ，

又四邊形ABDE是菱形，∠DBA=60°，所以△DAB是正三角形，

所以 ，

而OD∩OC=O，所以AB⊥平面DOC，

所以AB⊥CD．

（2）解：由（1）知OC=CD，平面DOC⊥平面ABD，

因為平面DOC與平面ABD的交線為OD，

所以點C在平面ABDE內的射影H必在OD上，

所以H是OD的中點，

如圖所示建立空間直角坐標系O﹣xyz， ， ，

所以 ， ， ，

設平面BDC的法向量為 ，則 ，取 ，則x=3，z=1，

即平面BCD的一個法向量為 ．

所以CH與平面BCD所成的角的正弦值為 = ．

【解析】（1）取AB的中點O，連OC，OD，證明：AB⊥平面DOC，即可證明DC⊥AB；（2）若點C在平面ABDE內的射影H，建立空間直角坐標系，利用向量方法求CH與平面BCD所成的角的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．