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【題目】已知橢圓為其左右焦點，為其上下頂點，四邊形的面積為.點為橢圓上任意一點，以為圓心的圓（記為圓）總經過坐標原點.

（1）求橢圓的長軸的最小值，并確定此時橢圓的方程；

（2）對于（1）中確定的橢圓，若給定圓，則圓和圓的公共弦的長是否為定值？如果是，求的值；如果不是，請說明理由.

【答案】（1）長軸的最小值為，此時橢圓的方程為；（2）2.

【解析】

（1）利用四邊形的面積求得，利用基本不等式求得的最小值，同時求得橢圓的方程.（2）設出點坐標，代入橢圓方程，得到點兩個坐標的關系式.求得圓的方程和圓的方程，兩者作差求得公共弦所在直線方程，求得圓心到公共弦的距離，由此求得弦長為定值.

解：（1）依題意四邊形的面積為

因為長軸當且僅當時取“”

此時

故長軸的最小值為，此時橢圓的方程為

（2）設點為橢圓上任意一點，則.

圓的方程為：，

兩式作差得公共弦方程為：，

所以弦心距

則弦長，所以圓和動圓的公共弦長為定值.

練習冊系列答案

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	支持	反對	合計
不足35歲	20
35歲以上			30
合計		25	55

（1）請完成上面的2×2列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為市民對鄭汴合并的態度與年齡有關？

（2）在上述樣木中用分層抽樣的方法，從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機抽取6人作進一步調查，從這6人中任選2人，求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.814	5.024		7.879	10.828

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（2）若地球在流浪的過程中，由第一次逆時針流浪到與軌道中心的距離為萬米時（其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長），由于木星引力，部分原子發動機突然失去了動力，此時地球向著木星方向開始變軌（如圖所示），假定地球變軌后的軌道為一條直線，稱該直線的斜率為“變軌系數”. 求“變軌系數”的取值范圍，使地球與木星不會發生碰撞. （精確到小數點后一位）