Question

【題目】已知函數(shù)（其中為常數(shù)且）

（1）若函數(shù)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)為減函數(shù)，等價(jià)于，即對(duì)恒成立，求出的最小值即可得結(jié)果；（2）設(shè)，則原命題等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分類討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象與零點(diǎn)存在定理，可篩選出符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）

若函數(shù)為減函數(shù)，則，即對(duì)恒成立.

設(shè) 在區(qū)間上遞減遞增

即故實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

設(shè)，則原命題等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減上遞增，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)則必有即此時(shí)，在上有

在上，

在區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，故合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間遞減，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間遞減、遞增、遞減，

函數(shù)的極小值為函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間遞減、遞增、遞減，

函數(shù)的極小值為 ，

函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.