Question

【題目】已知f（x）為二次函數(shù)，且．

（1）求f（x）的表達式；

（2）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）增函數(shù)，證明見解析．

【解析】

（1）利用題中所給的條件，先設(shè)出函數(shù)的解析式，利用，將式子化為恒等式，利用對應(yīng)項系數(shù)相等，得到方程組，求得結(jié)果；

（2）先化簡函數(shù)解析式，利用單調(diào)性的定義，證明得到函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)果.

（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

由條件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，

從而， 解得：，

所以f（x）=x2﹣2x﹣1；

（2）函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

理由如下：g（x）==，

設(shè)設(shè)任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），

∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1+＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

所以函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增．