Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）設a=1，f（x）在x=1處的切線過點（2，6），求b的值；
（2）設b=a2+2，求函數f（x）在區間[1，4]上的最大值；
（3）定義：一般的，設函數g（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱x0為函數g（x）的不動點．設a＞0，試問當函數f（x）有兩個不同的不動點時，這兩個不動點能否同時也是函數f（x）的極值點？

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）進行求導：f'（x）= +2ax+b

當a=1時，f（x）=lnx+x2+bx，f'（x）= +2x+b

當x=1時，f（1）=1+b，f'（1）=3+b

故切線方程為：y﹣（1+b）=（3+b）（x﹣1）

點（2，6）滿足切線方程，故b=

（2）解：由題意，f（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，x＞0

則：f'（x）= +2ax+a2+2=

當a=0時，f（x）=2x，f'（x）=2＞0，f（x）在[1，4]上為增函數，故最大值為f（4）=8；

當a＞0時，f'（x）＞0，f（x）在x＞0上為增函數，故最大值為f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；

當a＜0時，令f'（x）=0，則導函數有兩個零點：x1=﹣ ，x2=﹣ ．

（i）當a＜ 時，∵ ， ∴x1＜x2，

f（x）在（0，﹣ ），（﹣ ，+∞）上單調遞減，在（﹣ ，﹣ ）上單調遞增；

①當﹣ ＜ ＜1＜4≤﹣ 時，即a≤﹣8，此時最大值為f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；

②當﹣ ＜ ＜1＜﹣ ≤4時，即﹣8≤a＜﹣2，此時最大值為f（﹣ ）=aln（﹣ ）﹣ ﹣a；

③當 ＜ ＜ ≤1＜4時，即﹣2≤a＜﹣ ，此時最大值為f（1）=a2+a+2；

（ii）當a=﹣ 時， ，f'（x）≤0，f（x）在[1，4]上單調遞減，最大值為f（1）=4﹣ ；

（iii）當﹣ ＜a＜0時， ， ∴x1＞x2

f（x）在（0，﹣ ），（﹣ ，+∞）上單調遞減，（﹣ ，﹣ ）上單調遞增；

①當 時，即 ≤a＜0，最大值為f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；

②當﹣ ＜ ＜1＜﹣ ≤4時，即﹣1＜a≤ ，最大值為f（﹣ ）=aln（﹣ ）﹣a﹣ ；

③當﹣ ＜ ＜﹣ ≤1＜4時，即﹣ ＜a≤﹣1，最大值為f（1）=a2+a+2

（3）解：由題意知：f（x）=

由①②化簡后：alnx﹣a﹣ax2=x則說明 a（lnx﹣x2﹣1）=x 有兩個根；

∵a＞0，x＞0∴ =

即 y= 與 y=h（x）= 在（0，+∞）上有兩個不同交點．

h'（x）= ，令F（x）=2﹣x2﹣lnxF'（x）=﹣2x﹣ ＜0；

∴F（x）在x＞0上單調遞減；

∵F（1）＞0，F（ ）＜0∴F（x）的零點為x0∈（1， ），

故F（x0）=0，即2﹣ ﹣lnx0=0lnx0=2﹣ ③；

所以，h（x）在（0，x0）單調遞減，（x0，+∞）上單調遞增；

h（x0）= = = ，h（x0）∈（﹣ ，﹣1）；

故h（x）的圖形如右圖：

當 ＜0時即a＜0，h（x）圖形與y= 圖形有兩個交點，與題設a＞0

相互矛盾，故a不存在．

【解析】（1）由題意a=1，f（x）在x=1處的切線過點（2，6），利用導數函數的幾何性質求解b的值；（2）b=a2+2，求函數f（x），求其導函數，討論在區間[1，4]上的最大值；（3）根據函數g（x）的不動點新定義，求其f（x）定義域，當a＞0時，g（x0）=x0討論函數f（x）有兩個不同的不動點；同時求函數f（x）的極值點，即可知道兩個不動點能否同時也是函數f（x）的極值點．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．