Question

如圖,橢圓的中心在坐標原點，長軸端點為A，B,右焦點為F,且.
(I) 求橢圓的標準方程；
(II)過橢圓的右焦點F作直線，直線l₁與橢圓分別交于點M,N，直線l₂與橢圓分別交于點P,Q,且，求四邊形MPNQ的面積S的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓的方程為,則由題意知,
又∵即∴,
故橢圓的方程為:……………………………………………….2分
(Ⅱ)設.
則由題意, ,
即  
整理得,
即
所以………………………………………………………………6分
(注: 證明,用幾何法同樣得分)
①若直線中有一條斜率不存在,不妨設的斜率不存在,則可得軸,
∴ ,
故四邊形的面積…….…….…….7分
②若直線的斜率存在,設直線的方程: ,則
由得,
設,則
…………….9分
同理可求得，………………………….10分
故四邊形的面積:
取“=”,
綜上，四邊形的面積的最小值為

略