Question

【題目】已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，、分別是線段、的中點．

（1）證明：

（2）在線段上是否存在點，使得∥平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．

（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵．（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化．同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備．

試題解析：解法一：（1）∵ 平面，，，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則． 2分

不妨令∵，∴，

即． 4分

（2）設平面的法向量為，由，得，令，

得：．∴． 6分

設點坐標為，，則，要使∥平面，只需，即，得，從而滿足的點即為所求． 8分

（3）∵，∴是平面的法向量，易得， 9分

又∵平面，∴是與平面所成的角，

得，，平面的法向量為 10分

∴，

故所求二面角的余弦值為． 12分

解法二：（1）證明：連接，則，，

又，∴ ，∴ 2分

又，∴ ，又，

∴ 4分

（2）過點作交于點，則∥平面，且有 5分

再過點作∥交于點，則∥平面且，∴ 平面∥平面 7分 ∴ ∥平面．從而滿足的點即為所求． 8分

（3）∵平面，∴是與平面所成的角，且．

∴ 9分

取的中點，則，平面，

在平面中，過作，連接，則，

則即為二面角的平面角 10分

∵∽，∴ ，∵，且

∴ ，，∴ 12分