Question

【題目】設函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個零點，求滿足條件的最小正整數的值；

（3）若方程，有兩個不相等的實數根，比較與0的大小．

Answer 1

【答案】(1) 單調增區間為，單調減區間為. (2) ,(3)詳見解析

【解析】試題分析: (1)先求函數導數,再求導函數零點 ,根據定義域舍去,對進行討論, 時，，單調增區間為．時,有增有減;(2) 函數有兩個零點，所以函數必不單調,且最小值小于零 ,轉化研究最小值為負的條件:,由于此函數單調遞增,所以只需利用零點存在定理探求即可,即取兩個相鄰整數點代入研究即可得的取值范圍,進而確定整數值,（3）根據，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比較大小, 設,構造函數,利用導數可得最值,即可判定大小.

試題解析:(1)解： ．

當時，，函數在上單調遞增，函數的單調增區間為．

當時，由，得；由，得.

所以函數的單調增區間為，單調減區間為.

(2)解：由(1)得，若函數有兩個零點

則，且的最小值，即.

因為，所以.令，顯然在上為增函數，

且，，所以存在，.

當時，；當時，.所以滿足條件的最小正整數

(3)證明：因為是方程的兩個不等實根，由(1)知.

不妨設，則，.

兩式相減得，

即．

所以.因為，

當時，， 當x∈時，，

故只要證即可，即證明，

即證明，

即證明.設．

令，則.

因為，所以，當且僅當t＝1時，，所以在上是增函數．

又，所以當時，總成立．所以原題得證