Question

【題目】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側棱BB1的中點．

（1）求證：直線AE⊥平面A1D1E；
（2）求二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

A（1，0，0），E（1，1，1），A1（1，0，2），D1（0，0，2），

=（0，1，1）， =（0，1，﹣1）， =（﹣1，0，0），

=0， =0，

∵AE⊥A1E，AE⊥A1D1，

∵A1E∩A1D1=A1，∴直線AE⊥平面A1D1E．

（2）解： =（0，1，1）， =（﹣1，0，2），

設平面AED1的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=2，得 =（2，﹣1，1），

又平面A1D1A的法向量 =（0，1，0），

設二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明直線AE⊥平面A1D1E．（2）求出平面AED1的法向量和平面A1D1A的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AD1﹣A1的平面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．