Question

【題目】設橢圓的右頂點為A，下頂點為B，過A、O、B（O為坐標原點）三點的圓的圓心坐標為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點M在x軸正半軸上，過點B作BM的垂線與橢圓交于另一點N，若∠BMN=60°，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據直徑所對圓周角為直角可知為直徑，根據圓心坐標求得的值進而求得橢圓的方程.（2）由（1）求得點的坐標，設出直線的方程，同時得到直線的方程.聯立直線的方程和橢圓方程，解出點的坐標，由此求得的表達式.通過直線的方程求得點的坐標，進而求得的表達式，利用得到，由此列方程解得的值，從而求得點的坐標.

解：（1）依題意知,,

∵△AOB為直角三角形，∴過A、O、B三點的圓的圓心為斜邊AB的中點，

∴，即，

∴橢圓的方程為.

（2）由（1）知，依題意知直線BN的斜率存在且小于0，

設直線BN的方程為，

則直線BM的方程為：，

由消去y得，

解得：，,

∴

∴ ,

在中，令得，即

∴，

在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,

即，整理得，

解得，∵，∴，

∴點M的坐標為.