Question

【題目】如圖，已知圓O的內接四邊形BCED，BC為圓O的直徑，BC=2，延長CB，ED交于A點，使得∠DOB=∠ECA，過A作圓O的切線，切點為P，

（1）求證：BD=DE；
（2）若∠ECA=45°，求AP2的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OE，∵圓O的內接四邊形BCED，BC為圓O的直徑，

BC=2，延長CB，ED交于A點，使得∠DOB=∠ECA，

∴CE∥OD，∴∠CEO=∠EOD，

∵CO=EO，∴∠OCE=∠OEC，

∴∠BOD=∠EOD，

∴BD=DE．

（2）解：解：（2）∵∠ECA=45°，BC為圓O的直徑，BC=2，

∴∠COE=90°，∴CE= ，OD=1，

∵OD∥CE，∴ = ，解得AB= ，

∵過A作圓O的切線，切點為P，

∴AP2=AB（AB+2）= =2+2

【解析】（1）連結OE，由已知得CE∥OD，從而∠BOD=∠EOD，由此能證明BD=DE．（2）推導出∠COE=90°，CE= ，OD=1，AB= ，由此利用切割線定理能求出AP2 ．