Question

【題目】如圖，正三棱柱ABC A 1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，D是BC 的中點(diǎn)．

（1） 求證：AD⊥平面B1BC C1；

（2） 求證：A 1B//平面ADC1；

（3） 求三棱錐C1 ADB1的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明略．（2）證明略．（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)，可得由正三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）連接，交于點(diǎn)，連接，利用為中位線，可得，利用線面的平行的判定定理，可證平面；（3）利用等體積，根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)論.

試題解析：（1）證明：是正三棱柱，平面，

平面是正三角形，為中點(diǎn)，，

平面.

證明：連接，交于點(diǎn)，連接，由是正三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，為中位線，平面平面，平面.

(3) .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.