Question

如圖，A₁、A₂、F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1的左、右頂點和左、右焦點，M（x₀、y₀）是雙曲線C上任意一點，直線MA₂與動直線l：x=

9

x0

相交于點N．
（1）求點N的軌跡E的方程；
（2）點B為曲線E上第一象限內的一點，連接F₁B交曲線E于另一點D，記四邊形A₁A₂BD對角線的交點為G，證明：點G在定直線上．

Answer 1

（本小題滿分13分）
（1）直線MA₂方程為：y₀（x-3）-（x₀-3）y=0
由方程組

x= 9 x0 y0(x-3)-(x0-3)y=0

…（2分）
代入雙曲線方程化簡得：
點N的軌跡E的方程為：

y2

16

+

x2

9

=1…（5分）
（2）證明：如圖，設B(3cosθ，4sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，
則直線F₁B的方程為：y=

4sinθ

3cosθ+5

(x+5)
代入E的方程化簡得：
（17+15cosθ）x²+（45sin²θ）x-9cosθ（17cosθ+15）=0…（9分）
∴xD=-

9cosθ(17cosθ+15)

xB(17+15cosθ)

=-

3(17cosθ+15)

17+15cosθ

，
yD=

32sinθ

17+15cosθ

，
∴A₁B的方程為：4sinθ（x+3）-3（cosθ+1）y=0①
A₂D的方程為：sinθ（x-3）+3（cosθ+1）y=0②…（11分）
由①②消去y得：x=-

9

5

即點G在雙曲線C的左準線x=-

9

5

上．…（13分）