Question

如圖，設點F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

PF1

•

PF2

最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n，若l₁、l₂均與橢圓C相切，證明：m+n=0；
（3）在（2）的條件下，試探究在x軸上是否存在定點B，點B到l₁，l₂的距離之積恒為1？若存在，請求出點B坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設P（x，y），則有

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y).

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]．
由

PF1

•

PF2

最小值為0，得1-c²=0，所以c=1，則a²=b²+c²=1+1=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）把y=kx+m代入橢圓

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直線l₁與橢圓C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化簡得m²=1+2k²，
把y=kx+n代入橢圓

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4nkx+2n²-2=0，
∵直線l₂與橢圓C相切，∴△=16k²n²-4（1+2k²）（2n²-2）=0，化簡得n²=1+2k²，
∴m²=n²，若m=n，則l₁，l₂重合，不合題意，
∴m=-n，即m+n=0；
（3）設在x軸上存在點B（t，0），點B到直線l₁，l₂的距離之積為1，
則

|kt+m|

k2+1

•

|kt-m|

k2+1

=1，即|k²t²-m²|=k²+1，
把1+2k²=m²代入并去絕對值整理，得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，
k²（t²-3）=2不滿足對任意的k∈R恒成立；而要使得k²（t²-1）=0對任意的k∈R恒成立
則t²-1=0，解得t=±1；
綜上所述，滿足題意的定點B存在，其坐標為（-1，0）或（1，0）．