Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）＝x2﹣2x．

（1）求f（0）及f（f（1））的值；

（2）求函數f（x）的解析式；

（3）若關于x的方程f（x）﹣m＝0有四個不同的實數解，求實數m的取值范圍，

Answer 1

【答案】（1）f（0）＝0，f（1）＝﹣1（2）（3）（﹣1，0）

【解析】

（1）根據題意，由函數的解析式，將x＝0代入函數解析式即可得f（0）的值，

同理可得f（1）的值，利用函數的奇偶性分析可得f（f（1））的值；

（2）設x＜0，則﹣x＞0，由函數的解析式分析f（﹣x）的解析式，進而由函數的奇偶性分析可得答案；

（3）若方程f（x）﹣m＝0有四個不同的實數解，則函數y＝f（x）與直線y＝m有4個交點，作出函數f（x）的圖象，由數形結合法分析即可得答案．

（1）根據題意，當x≥0時，f（x）＝x2﹣2x；

則f（0）＝0，

f（1）＝1﹣2＝﹣1，

又由函數f（x）為偶函數，則f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，

則f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；

（2）設x＜0，則﹣x＞0，

則有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，

又由函數f（x）為偶函數，

則f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，

則當x＜0時，f（x）＝x2+2x，

∴

（3）若方程f（x）﹣m＝0有四個不同的實數解，

則函數y＝f（x）與直線y＝m有4個交點，

而y＝f（x）的圖象如圖：

分析可得﹣1＜m＜0；

故m的取值范圍是（﹣1，0）．