Question

【題目】設是函數定義域內的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“不動點”，也稱在區間上存在不動點．

設函數，．

（1）若，求函數的不動點；

（2）若函數在上不存在不動點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）

【解析】

（1）根據新定義，當時，，求出，即可得出函數的不動點；

（2）由于函數在上不存在不動點，則在區間上無解，即在上無解，利用換元法，令，，轉化為在區間上無解，構造新函數并求出單調區間，結合函數的恒成立問題，即可求出實數的取值范圍．

解：（1）根據題目給出的“不動點”的定義，可知：

當時，，

得，所以，所以，

所以函數的不動點為0．

（2）根據已知，得在區間上無解，

所以在上無解，

令，，所以，

即在區間上無解，

所以在區間上無解，

設，所以在區間上單調遞增，

故，

所以或，所以或，

又因為在區間上恒成立，

所以在區間上恒成立，

設，所以在區間上單調遞增，

故，所以，所以．

綜上，實數的取值范圍是．