Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）證明：函數在上單調遞增；

（Ⅱ）若， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導函數的性質證明即可；（Ⅱ）利用導函數求解，對進行討論，構造函數思想，結合導函數的單調性，求解的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）

因為，所以，于是

（等號當且僅當時成立）．

故函數在上單調遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上單調遞增，又，所以，

（ⅰ）當時， 成立．

（ⅱ）當時，

令，則，

當時， ， 單調遞減，又，所以，

故時， ．（*）

由（*）式可得，

令，則

由（*）式可得

令，得在上單調遞增，

又， ，所以存在使得，即時， ，

所以時， ， 單調遞減，又，所以，

即時， ，與矛盾．

綜上，滿足條件的m的取值范圍是．