Question

【題目】設函數，其中為自然對數的底數．

（Ⅰ）若曲線在軸上的截距為-1，且在點處的切線垂直于直線，求實數的值；

（Ⅱ）記的導函數為， 在區間上的最小值為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析:（Ⅰ）通過，解得．由，解得．

(Ⅱ)求出函數的導數,通過,利用新函數的導數 ,利用(1)當, 在上的單調性,推出當時,推出;當時,通過導數求解 .

試題解析:（Ⅰ）∵曲線在軸上的截距為-1，

∴，解得．

又∵，且在點處的切線垂直于直線，

∴曲線在點處的切線的斜率為

，解得．

∴， ．

（Ⅱ）∵，即， ．

由得．

（1）當即時，在上， 在上是增函數，

所以；

（2）當，即時，

∵令，在上解得，

∴在上是減函數，在上是增函數．

∴ ．

令，則， ， ，

所以在上是減函數， ，即；

（3）當即時，在上， 在上是減函數，

所以．

綜上可得，即的最大值為．