Question

某項(xiàng)競賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段進(jìn)行，每個階段選手要回答一個問題．規(guī)定正確回答問題者進(jìn)入下一階段競賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，，，且各階段通過與否相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；
（Ⅱ）設(shè)該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

解：（Ⅰ）該選手在復(fù)賽階段被淘汰包括通過初賽，不能通過復(fù)賽，這兩個事件是相互獨(dú)立的，
記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，
“該選手通過決賽”為事件C，
則，，．
根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率得到
該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是
（Ⅱ）該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3
，
，

∴ξ的數(shù)學(xué)期望
ξ的方差…
分析：（Ⅰ）該選手在復(fù)賽階段被淘汰包括通過初賽，不能通過復(fù)賽，這兩個事件是相互獨(dú)立的，根據(jù)，，和相互獨(dú)立事件的概率得到結(jié)果．
（II）該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的概率，做出期望和方差．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，是一個綜合題目，可以作為理科高考中的解答題．