Question

某項競賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題．規定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是，，，且各階段通過與否相互獨立．
（Ⅰ）求該選手在復賽階段被淘汰的概率；
（Ⅱ）設該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，求ξ的數學期望和方差．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）該選手在復賽階段被淘汰包括通過初賽，不能通過復賽，這兩個事件是相互獨立的，根據，，和相互獨立事件的概率得到結果．
（II）該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，結合變量對應的事件寫出變量的概率，做出期望和方差．
解答：解：（Ⅰ）該選手在復賽階段被淘汰包括通過初賽，不能通過復賽，這兩個事件是相互獨立的，
記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復賽”為事件B，
“該選手通過決賽”為事件C，
則，，．
根據相互獨立事件的概率得到
該選手在復賽階段被淘汰的概率是
（Ⅱ）該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3
，
，

∴ξ的數學期望
ξ的方差…
點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，考查相互獨立事件同時發生的概率，是一個綜合題目，可以作為理科高考中的解答題．