Question

某項競賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題．規定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是

3

4

，

1

2

，

1

4

，且各階段通過與否相互獨立．
（Ⅰ）求該選手在復賽階段被淘汰的概率；
（Ⅱ）設該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，求ξ的數學期望和方差．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該選手在復賽階段被淘汰包括通過初賽，不能通過復賽，這兩個事件是相互獨立的，根據P(A)=

3

4

，P(B)=

1

2

，和相互獨立事件的概率得到結果．
（II）該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，結合變量對應的事件寫出變量的概率，做出期望和方差．

解答：解：（Ⅰ）該選手在復賽階段被淘汰包括通過初賽，不能通過復賽，這兩個事件是相互獨立的，
記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復賽”為事件B，
“該選手通過決賽”為事件C，
則P(A)=

3

4

，P(B)=

1

2

，P(C)=

1

4

．
根據相互獨立事件的概率得到
該選手在復賽階段被淘汰的概率是P=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

（Ⅱ）該選手在競賽中回答問題的個數為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3
P(ξ=1)=P(

.

A

)=1-

3

4

=

1

4

，
P(ξ=2)=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

，
P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=

3

4

×

1

2

=

3

8

∴ξ的數學期望Eξ=1×

1

4

+2×

3

8

+3×

3

8

=

17

8

ξ的方差Dξ=(1-

17

8

)2×

1

4

+(2-

17

8

)2×

3

8

+(3-

17

8

)2×

3

8

=

39

64

…

點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，考查相互獨立事件同時發生的概率，是一個綜合題目，可以作為理科高考中的解答題．