Question

【題目】已知函數 ，a∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）有兩個零點x1 ， x2 ， （x1＜x2），求證：1＜x1＜a＜x2＜a2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，函數的定義域為（0，+∞），

當a≤0時， ， ，

函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），

當a＞0時， ，

若x≥a， ，此時函數f（x）單調遞增，

若x＜a， ，此時函數f（x）單調遞減，

綜上，當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；

當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，a）；單調遞增區間為（a，+∞）

（2）證明：由（1）知，當a≤0時，函數f（x）單調遞增，

此時函數至多只有一個零點，不合題意；

則必有a＞0，此時函數f（x）的單調遞減區間為（0，a）；單調遞增區間為（a，+∞），

由題意，必須 ，解得a＞1，…10分

由 ，f（a）＜0，

得x1∈（1，a），

而f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna），

下面證明：a＞1時，a﹣1﹣lna＞0

設g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1

則 ，

所以g（x）在x＞1時遞增，則g（x）＞g（1）=0，

所以f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0，

又f（a）＜0，

所以x2∈（a，a2），

綜上，1＜x1＜a＜x2＜a2

【解析】（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．（2）由（1）知，當a≤0時，函數f（x）單調遞增，函數至多只有一個零點，不合題意；則必有a＞0，此時函數f（x）的單調遞減區間為（0，a）；單調遞增區間為（a，+∞），進一步得出x1∈（1，a）和x2∈（a，a2），從而得出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．