Question

【題目】已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．

(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

【答案】（1）8（2）

【解析】

（1）由y2＝6x，得準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得x2－5x＋＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，由拋物線的定義可知線段AB的長(zhǎng)；

（2），即可求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．

(1)因?yàn)橹本�l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．

又F，所以直線l的方程為y＝．

聯(lián)立消去y得x2－5x＋＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，

所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3．又準(zhǔn)線方程是x＝－，

所以M到準(zhǔn)線的距離為3＋＝．