Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4．

（1）求t，p的值；
（2）設(shè)A，B是拋物線(xiàn)上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線(xiàn)定義得，

所以?huà)佄锞�(xiàn)方程為y2=4x，

代入點(diǎn)T（3，t），可解得

（2）解：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+n， ，

聯(lián)立 消元得：y2﹣4my﹣4n=0，則：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n

由 得： ，所以：y1y2=﹣20或y1y2=4（舍去）

即﹣4n=﹣20n=5，所以直線(xiàn)AB的方程為x=my+5，

所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)P（5，0）

【解析】（1）利用拋物線(xiàn)y2=2px （p＞0）上點(diǎn)T（3，t）到焦點(diǎn)F的距離為4，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可求t，p的值；（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+t，代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合 ，可求t的值，即可求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)