Question

【題目】有一內壁光滑的旋轉拋物面，方程，內壁上有一質量為的小球在一水平面內做半徑為的無摩擦的圓周運動，如圖甲所示.突然，小球受到一個沿子午線方向的一個沖量，使其得到沿子午線方向的速度分量，試證明：小球在此后的運動中，將被限制在兩個水平面間運動.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

小球在曲面上運動，是一種二維運動，應有兩個動力學方程給出描述，如果有守恒方程，則可以代替動力學方程.

本系統的守恒方程有兩個.

（i）因為小球在運動過程中，受兩個力作用：重力和曲面支持力，前者平行于軸，后者通過軸，所以，對軸的力矩為零，另外，還受一個沿子午線方向的沖量，但相對于軸的沖量矩為零.

系統在受沖量前后，相對于軸的角動量守恒，其守恒量的大小為，式中待定.

（ii）在小球受到沖擊后，除了重力（保守力）外，非保守力（支持力）不做功，所以，系統在受沖擊后機械能守恒，守恒量的大小為

初始位置：，且，所以.

為了明確守恒量的大小，我們先計算的值.

改寫旋轉拋物面方程：.

令，

則.

最初，，小球受力如圖乙所示，由牛頓第二定律可得

，，

所以，.

這里正好是小球所在處曲線的斜率.由得

，，

所以，.

則兩個守恒量的大小分別為

，

.

設小球在以后運動中的任一狀態的速度為

，

則，

.

利用①，②子午線方向的速度分量可得

.

當時，正好是小球達到最低或最高位置，由此解出的值就是最低、最高的兩個平面，小球以后將在這兩個平面內運動.在上式中令，有

，

整理可得，

解得，.

以后小球就在這兩個平面之間運動.

本題是考查角動量守恒與機械能守恒運用的代表模型.

與本題類似的曲面還有錐面、球面以及其他曲線所給出的旋轉曲面等，其處理方式基本上與本題如出一轍，只是涉及的曲線不同而已.

質點在這類曲面中的運動一般有兩種可供研究的運動模型，一是質點在某一高度處做穩定的勻速圓周運動，如本題中的初態；二是質點在某個高度區間內做運動，其過程遵循角動量與機械能守恒，我們即使是從定性的角度也能判斷質點在最高處與最低處時，其豎直方向上的速度為零.