Question

【題目】有一塊透明的光學材料，由折射率略有不同的許多相互平行，厚度為的薄層密接構成，下圖所示為與各薄層垂直的一個截面，AB為此材料的端面，與薄層界面垂直。表示截面的中心線。各薄層的折射率數值為，其中，。今有一光線PO以入射角射向Ο點，求此光線在材料內能夠到達的離最遠的距離。

Answer 1

【答案】

【解析】

令光線進入材料后的折射角為（見圖乙），則有

。①

此光線射至薄層1時，入射角為，設光線進入薄層1后與的夾角為，則有

,

依次逐層考慮，可得

常量。②

式中為薄層k中光線與中心線的夾角。已知，，，即隨序號k的增大而減小，故隨k的增大而增大，隨k的增大而減小。滿足②式的各值中最接近于1的那個值所對應的k即光線能進入最遠的薄層的序號。在這薄層的上表面將發生全反射，光線返回，經逐層折射進入材料的下半部，到達第k層后又被反射回去，來回傳播，因此，需要求出能滿足

③

的k的最大值。

由①式得，

代入③式，化簡得，

代入數值得。

取小于36.52的最大整數，得。

k層上表面即光線能到達的離最遠處，它與的距離為

。

在特殊情況下，即恰等于某整數時，光線由層進入層時光線即與平行，故層的上表面即為光線能達到之最遠處。這時有

。