Question

【題目】如圖所示，一個質量為，半徑為的均勻圓盤在光滑水平面內以速度沿方向平動，圓盤中心至軸的垂直距離為.圓盤與另一靜止的、其中心位于坐標原點的均勻圓盤相碰.圓盤的質量與相同，半徑為.假定碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量（垂直于連心線方向的速度）相等，并假設碰撞前后兩盤沿連心線方向的相對速度大小不變.在發生碰撞的情況下，試求：

（1）碰后兩圓盤質心速度的分量和分量，結果要以給定的參量、、、和表示；

（2）碰后兩圓盤的動能，結果要以給定的參量、、、和表示.

Answer 1

【答案】（1）；.

其中，.

（2），.

【解析】

（1）如圖乙所示，設碰撞時兩圓盤質心連線與軸成角，由幾何關系可知，對系統，在法向與切向動量均守恒，即

，①

.②

式中，、、、是、盤碰撞后沿切向與徑向的質心速度，系統對點的動量矩守恒，即

.③

該式中，，，、為兩盤碰撞后的角速度.

注意碰撞后盤既有轉動又有平動，對點的動量矩由兩部分組成，而盤質心在點，故角動量僅為

.

根據兩盤接觸處切向速度相同，有

.④

根據兩盤法向相對速度不變，有

.⑤

對盤，由動量定理和動量矩原理，摩擦力的作用是

,.

即有.⑥

由上述六個方程解得

，；

，；

，.

兩盤碰后質心速度的分量為

；

.

兩盤碰后質心速度的分量為

；

.

其中，.

（2）各圓盤的動能，是各盤質心平動動能與圓盤轉動動能之和，由此可得

，

.

本題中碰撞的是盤而不是通常情況下的球，這種模型的變化并不代表適用規律的變化.

本題情景簡言之，是質量相同的運動圓盤與靜止圓盤在水平面上發生非彈性斜碰.碰撞前后，質心動量守恒——系統不受外力；對點的角動量守恒——外力沖量矩為零；動能不守恒——碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量相等，必有摩擦力存在，動能有損失.

本題給出諸多的附加條件，除了根據動量守恒與角動量守恒列出基本方程外，還須根據附加條件給出足夠的補充方程，并適當選用速度分量，方可最終得解.

同學們應該注意到，只要在碰撞中不滿足動能守恒，必然會出現相應的附加條件，這時附加條件便是用作方程補充的，從而完成求解.