Question

【題目】如圖1，在和中，，，連接，，繞點自由旋轉.

（1）當在邊上時，

①線段和線段的關系是____________________；

②若，則的度數為____________；

（2）如圖2，點不在邊上，，相交于點，（l）問中的線段和線段的關系是否仍然成立？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①BD=CE，BD⊥CE，②67.5°；（2）（1）問中的線段BD和線段CE的關系仍然成立

【解析】

（1）①延長BD交CE于H，證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，求出∠CHD=90°，得到BD⊥CE，得到答案；
②根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=45°，根據等腰三角形的性質、三角形的外角性質計算即可；
（2）仿照（1）①的作法證明即可．

解：（1）①延長BD交CE于H，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠CDH，
∴∠DCH+∠CDH=90°，即∠CHD=90°，
∴BD⊥CE，
故答案為：BD=CE，BD⊥CE；

②BC=AD+AB=AE+AB=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BEC=∠BCE=67.5°，
∵BE=BC，BH⊥CE，
∴∠CBH=∠EBH=∠ACE，
∴∠ADB=∠DBC+∠DCB=∠ACE+∠DCB=67.5°，
故答案為：67.5°；

（2）（1）問中的線段BD和線段CE的關系仍然成立，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE
理由如下：在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠ANB=90°，∠ANB=∠FNC，
∴∠ACF+∠DNC=90°，即∠CFN=90°，
∴BD⊥CE，
綜上所述，BD=CE，BD⊥CE．