Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，過點A作AE⊥AB且AB=AE，過點E分別作EF⊥AC，ED⊥BC，分別交AC和BC的延長線與點F、D．

（1）求證：△ABC≌△EAF；

（2）若FC=7，求四邊形ABDE的周長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）50

【解析】

（1）根據AAS證明△ABC≌△EAF即可；

（2）由全等三角形的性質得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的長，進而得出四邊形EFCD是矩形，求出四邊形ABDE的周長即可；

（1）證明：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，

∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°，

∴∠B=∠2，

∵EF⊥AC，

∴∠4=∠5=90°，

∴∠3=∠4，

在△ABC和△EAF中，

，

∴△ABC≌△EAF（AAS）．

（2）解：∵△ABC≌△EAF

∴BC=AF，AC=EF，

∵BC=5，

∴AF=5，

∵FC=7，

∴AC=EF=12，

在Rt△ABC中，AB==13，

∴AE=AB=13，

∵ED⊥BC，

∴∠7=∠6=∠5=90°，

∴四邊形EFCD是矩形，

∴CD=EF=12，ED=FC=7，

∴四邊形ABDE的周長=AB+BD+DE+EA=13+5+12+7+13=50．