Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（2，﹣1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，3），連接AB．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1
把A（0，3）代入得：3=4a﹣1
解得：a=1，
故 y=（x﹣2）2﹣1
=x2﹣4x+3
（2）解：拋物線的對稱軸與⊙C相離
理由如下：
如圖1，過點C作CE⊥BD于E

令y=0，則x2﹣4x+3=0
解得：x1=1，x2=3
則B（1，0），C（3，0），A（0，3），
故AB= ，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△AOB～△BEC
∴ ，
∴ = ，
∴CE= ，
∴BF=CE=1＞ ，
∴拋物線的對稱軸與⊙C相離
（3）解：設P（m，m2﹣4m+3），如圖2，過點P作作PQ∥y軸交AC于點Q，

設AC的解析式為：y=kx+b，
故 ，
解得： ，
故AC的解析式為：y=﹣x+3，
則Q（m，﹣m+3），
則PQ=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m，
S△PAC=S△AQP+S△CQP
= ×3（﹣m2+3m），
=﹣ m2+ m，
則m=﹣ = ÷3= ，
把m= 代入得：﹣ × + × = ，
故p（ ，﹣ ），
則S△PAC的最大值= ．
【解析】（1）可設拋物線為頂點式，再把（0，3）代入即可；（2）判定直線和圓的位置關系需比較“d與r的大小”，通過相似，即△AOB～△BEC，求出圓的半徑CE，圓心到直線的距離CF=d=1;（3）最值問題可利用函數思想，構建以P的橫坐標x為自變量、S△PAC為因變量的函數，配方法求出最值.