Question

【題目】如圖，⊙O的直徑為10，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)．

（1）求證：ACCD=PCBC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A與∠P是 對(duì)的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴ ，
∴ACCD=PCBC；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到 的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥PC于E，

∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵點(diǎn)P是 的中點(diǎn)，
∴∠PCB= ∠ACB=45°，
∴BE=CE=BCsin45°=8× =4 ，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A= = ，
∴PE= BE=3 ，
∴PC=PE+CE=7 ，
∴CD=PCtan∠P= ×7 = ．
【解析】（1）要證ACCD=PCBC，可變換為需證△ABC∽△PDC，結(jié)合已知，運(yùn)用圓周角定理，證出兩組角相等，可得出結(jié)論;(（2）利用圓周角定理可得∠PCB= ∠ACB=45度，利用三角函數(shù)，CD=PCtan∠P，求出CD.