Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣3經過（﹣1，0），（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y=kx與拋物線交于A，B兩點．
（1）寫出點C的坐標并求出此拋物線的解析式；
（2）當原點O為線段AB的中點時，求k的值及A，B兩點的坐標；
（3）是否存在實數k使得△ABC的面積為 ？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令拋物線y=ax2+bx﹣3中x=0，則y=﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3）．

∵拋物線y=ax2+bx﹣3經過（﹣1，0），（3，0）兩點，

∴有 ，解得： ，

∴此拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：將y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，

整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，

∴xA+xB=2+k，xAxB=﹣3．

∵原點O為線段AB的中點，

∴xA+xB=2+k=0，

解得：k=﹣2．

當k=﹣2時，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，

解得：xA=﹣ ，xB= ．

∴yA=﹣2xA=2 ，yB=﹣2xB=2 ．

故當原點O為線段AB的中點時，k的值為﹣2，點A的坐標為（﹣ ，2 ），點B的坐標為（ ，﹣2 ）

（3）

解：假設存在．

由（2）可知：xA+xB=2+k，xAxB=﹣3，

S△ABC= OC|xA﹣xB|= ×3× = ，

∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．

∵（2+k）2非負，無解．

故假設不成了．

所以不存在實數k使得△ABC的面積為

【解析】（1）令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出C點的坐標，有點（﹣1，0）、（3，0）利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）將正比例函數解析式代入拋物線解析式中，找出關于x的一元二次方程，根據根與系數的關系即可得出“xA+xB=2+k，xAxB=﹣3”，結合點O為線段AB的中點即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，將k的值代入一元二次方程中求出xA、xB ， 在代入一次函數解析式中即可得出點A、B的坐標；（3）假設存在，利用三角形的面積公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xAxB=﹣3”，即可得出關于k的一元二次方程，結合方程無解即可得出假設不成了，從而得出不存在滿足題意的k值．本題考查了待定系數法求函數解析式、根與系數的關系、解一元二次方程以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）結合根與系數的關系求出k值；（3）利用反正法找出方程無解．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，將正比例函數解析式代入二次函數解析式中，利用三角形的面積公式結合根與系數的關系找出關于k的方程是關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)．