Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點D是AC的中點，直角∠EDF的兩邊分別交AB、BC于點E、F，給出以下結論：①AE=BF；②S四邊形BEDF=S△ABC；③△DEF是等腰直角三角形；④當∠EDF在△ABC內繞頂點D旋轉時D旋轉時（點E不與點A、B重合），∠BFE=∠CDF，上述結論始終成立的有（　　）個．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據ASA可證△BED≌△CFD，可得BE=CF,DE=DF，易證①AE=BF；②S四邊形BEDF=S△ABC；③△DEF是等腰直角三角形；由∠BFE=180-∠DFE-∠DFC,∠CDF=180-∠C-∠DFC, ∠DFE=∠C得∠BFE=∠CDF.

∵ED⊥FD，BD⊥AC，

∴∠BDE+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDC=90°，

∴∠BDE=∠FDC，

∵△ABC為等腰直角三角形，BD⊥AC，

∴∠EBD=∠C=45°，BD=CD，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（ASA），

∴BE=CF，

∴AE=BF，選項①正確；

DE=DF，

∴△DEF為等腰直角三角形，選項③正確；

∴S四邊形BEDF=S△BED+S△BDF=S△CFD+S△BDF=S△BDC=S△ABC，選項②正確．

∵∠BFE=180-∠DFE-∠DFC,∠CDF=180-∠C-∠DFC, ∠DFE=∠C=45,

∴∠BFE=∠CDF，選項④正確；

上述結論中始終成立的有4個．

故選：D