Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．
（1）試說明OE=OF；
（2）如圖2，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出說明理由；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BOE=∠AOF=90°，

OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF；

（2）解：OE=OF成立；

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF．

【解析】根據正方形對角線互相垂直平分的性質可以證明OA=OB，（1）求證∠1=∠2，進而證明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求證∠E=∠F，進而證明Rt△AOF≌Rt△BOE，根據全等三角形對應邊相等的性質即可得OE=OF．
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．