Question

【題目】如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作兩個等邊三角形△ABD，△ACE．連接BE、CD交點F，連接AF．

（1）求證：△ACD≌△AEB；

（2）求證：AF+BF+CF=CD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）如圖，延長FB至K，使FK＝DF，連DK，根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．

（1）∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAB=60°，

∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．

在△ACD和△AEB中，

∵，

∴△ACD≌△AEB(SAS)；

（2）由（1）知∠CDA=∠EBA，

如圖∠1=∠2，

∴180°﹣∠CDA﹣∠1=180°﹣∠EBA﹣∠2，

∴∠DAB=∠DFB=60°，

如圖，延長FB至K，使FK=DF，連DK，

∴△DFK為等邊三角形，

∴DK=DF，

∴△DBK≌△DAF(SAS)，

∴BK=AF，

∴DF=DK，FK=BK+BF，

∴DF=AF+BF，

又∵CD=DF+CF，

∴CD=AF+BF+CF．