Question

【題目】（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

①如圖1，若α＝90°，根據教材中一個重要性質直接可得AD＝CD，這個性質是　 ；

②在圖2中，求證：AD＝CD；

（2）拓展探究：根據（1）的解題經驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．

Answer 1

【答案】（1）①角平分線上的點到角的兩邊距離相等；②見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）①根據角平分線的性質定理即可解決問題；

②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要證明△DEA≌△DFC即可解決問題；

（2）如圖3中，在BC時截取BK=BD，BT=BA，連接DK．首先證明DK=CK，再證明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解決問題；

（1）①根據角平分線的性質定理可知AD＝CD．

所以這個性質是角平分線上的點到角的兩邊距離相等．

故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．

②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，

∴DE＝DF，

∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠E＝∠DFC＝90°，

∴△DEA≌△DFC，

∴DA＝DC．

（2）如圖3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，連接DK．

∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBK＝∠ABC＝20°，

∵BD＝BK，

∴∠BKD＝∠BDK＝80°，

∵∠BKD＝∠C+∠KDC，

∴∠KDC＝∠C＝40°，

∴DK＝CK，

∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，

∴△DBA≌△DBT，

∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，

∴∠DTK＝∠DKT＝80°，

∴DT＝DK＝CK，

∴BD+AD＝BK+CK＝BC．