Question

【題目】某工廠準備翻建新的大門，廠門要求設計成軸對稱的拱形曲線.已知廠門的最大寬度AB=12m，最大高度OC=4m，工廠的運輸卡車的高度是3m，寬度是5.8m.現設計了兩種方案.方案一：建成拋物線形狀（如圖1）；方案二：建成圓弧形狀（如圖2）.為確保工廠的卡車在通過廠門時更安全，你認為應采用哪種設計方案？請說明理由.

Answer 1

【答案】解：第一方案：設拋物線的表達式是y=a(x+6)(x6)，

因C(0，4)在拋物線的圖象上，代入表達式，得a= .

故拋物線的表達式是y= x2+4.

把第一象限的點(t，3)代入函數，得3= t2+4，

∴t=3，

∴當高度是3m時，最大寬度是6m.

第二方案：

由垂徑定理得：圓心O′在y軸上(原點的下方)

設圓的半徑是R，在Rt△OAO′中，由勾股定理得：62+(R4)2=R2，

解得R=6.5，

當高度是3m時，最大寬度= =4 ≈6.9m

根據上面的計算得：為了工廠的特種卡車通過廠門更安全，所以采用第二種方案更合理.

【解析】方案一、根據已知中的AB的長，可得出此拋物線與x軸的兩交點A、B的坐標，設函數解析式為交點式，再將點C的坐標代入解析式，即可求出函數解析式，然后將y=3代入求出對應的自變量的值，可得出最大寬度為6m；方案二、根據題意可知圓點在y軸的（原點）下方，連接O′A，根據垂徑定理求出OA的長，然后在Rt△OAO′中，根據勾股定理建立關于R的方程，求解得出圓的半徑長，再根據工廠的運輸卡車的高度是3m，求出最大寬度，則寬度較大的設計方案能保工廠的卡車在通過廠門時更安全。
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和垂徑定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題．