Question

【題目】從A，B兩題中任選一題作答：

A.如圖，在ΔABC中，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交與點M，N，作直線MN交AB于點E，交BC于點F，連接AF。若AF＝6，FC＝4，連接點E和AC的中點G，則EG的長為__.

B.如圖，在ΔABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，點D是邊BC的中點，點E在邊AC上運動，當DE平分ΔABC的周長時，DE的長為__.

Answer 1

【答案】A.5 B.

【解析】

A.由作法知MN是線段AB的垂直平分線，所以BF=AF=6，然后根據EG是三角形ABC的中位線求解即可；

B. 延長CA到點B′，使AB’等于AB，連接BB′，過點A作AF⊥BB′，垂足為F.由ED平分ΔABC的周長，可知EB′=EC，從而DE為ΔCBB′的中位線，由等腰三角形的性質求出∠B=∠B′=30°，從而BF=，進而可求出DE的長.

A.由尺規作圖可得直線MN為線段AB的垂直平分線，

∴BF=AF=6，E為AB中點，

∵點G為AC中點，

∴EG為ΔABC的中位線，

∴EG∥BC且EG ＝BC，

∵BF+FC=10，

∴EG=5；

B.如圖所示，延長CA到點B′，使AB’等于AB，連接BB′，過點A作AF⊥BB′，垂足為F.

∵ED平分ΔABC的周長，∴AB+AE+BD=EC+DC.

∵BD=DC，　∴AB+AE=EC.

∵AB=AB′，　∴EB′=EC，

∴DE為ΔCBB′的中位線.

∵∠BAC=60°，

∴ΔBAB′為頂角是120°的等腰三角形 ，

∴∠B=∠B′=30°，

∴AF=1，

∴BF=，

∴BB′=2，　　

∴ED=.

故答案為：A. 5；B.