Question

【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,AB=CD.

(1)如圖(1),求證:AD∥BC；

(2)如圖(2),點F是AC的中點,弦DG∥AB,交BC于點E,交AC于點M,求證:AE=2DF；

(3)在(2)的條件下,若DG平分∠ADC,GE=5,tan∠ADF=4,求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：(1)連接AC．由弦相等得到弧相等，進一步得到圓周角相等，即可得出結論．

（2）延長AD到N，使DN=AD，連接NC．得到四邊形ABED是平行四邊形，從而有AD=BE，DN=BE．由圓內接四邊形的性質得到∠NDC=∠B．即可證明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位線的性質即可得出結論．

（3）連接BG，過點A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四邊形ABED是平行四邊形，得到AB=DE．再證明ΔCDE是等邊三角形，ΔBGE是等邊三角形，通過解三角形ABE，得到AB，HB， AH，HE的長，由EC=DE=AB，得到HC的長．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的長．

作直徑AP，連接CP，通過解△APC即可得出結論．

試題解析：解：(1)連接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．

（2）延長AD到N，使DN=AD，連接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圓內接四邊形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=CN，∴AE=2DF．

（3）連接BG，過點A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE．

∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=，DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等邊三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等邊三角形，BE= GE=．∵tan∠AEB= tan∠ADF=，設HE=x，則AH= ．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=，解得：x=，∴AB=8，HB=4， AH=12，EC=DE=AB=，∴HC=HE+EC==．在Rt△AHC中，AC==．

作直徑AP，連接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=，∴，∴⊙O的半徑是．