Question

【題目】已知：梯形中，，聯結（如圖1）. 點沿梯形的邊從點移動，設點移動的距離為，.

（1）求證：；

（2）當點從點移動到點時，與的函數關系（如圖2）中的折線所示. 試求的長；

（3）在（2）的情況下，點從點移動的過程中，是否可能為等腰三角形？若能，請求出所有能使為等腰三角形的的取值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），，，，或

【解析】

（1）由平行線的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質得出∠ABD=∠CDB，∠A+∠ADC=180°，∠ABD+∠CBD=90°，∠ABD=∠ADB，得出∠A+2∠ABD=180°，2∠ABD+2∠CBD=180°，即可得出結論；

（2）作DE⊥AB于E，則DE=BC=3，CD=BE，由勾股定理求出AE==4，得出CD=BE=AB-AE=1；

（3）分情況討論：①點P在AB邊上時；②點P在BC上時；③點P在AD上時；由等腰三角形的性質和勾股定理即可得出答案．

（1）證明：∵，

∴，

又∵，

∴

∵，

∴，即

∴

（2）解：由點，得，

由點點的橫坐標是8，得時，∴

作于，∵，∴，

∵，∴

（3）

情況一：點在邊上，作，

當時，是等腰三角形，此時，，

∴

情況二：點在邊上，當時是等腰三角形，

此時，，，

∴在中，，

即，

∴

情況三：點在邊上時，不可能為等腰三角形

情況四：點在邊上，有三種情況

1°作，當時，為等腰三角形，

此時，∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

∴，

∴，

∴

∴

2°當時為等腰三角形，

此時，

3°當點與點重合時為等腰三角形，

此時或.