Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B，E分別是x軸和y軸上的任意點. BD是∠ABE的平分線，BD的反向延長線與∠OAB的平分線交于點C.

探究： （1）求∠C的度數.

發現： （2）當點A，點B分別在x軸和y軸的正半軸上移動時，∠C的大小是否發生變化？若不變，請直接寫出結論；若發生變化，請求出∠C的變化范圍.

應用：（3）如圖2在五邊形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延長線與∠EDC外角的平分線相交于點P，求∠P的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠C=45°；（2）不變.∠C=∠AOB =45°； (3) 25°.

【解析】

（1）先確定∠ABE與∠OAB的關系，∠ABE=∠OAB+90°，再根據角平分線和三角形的外角求得∠ACB的度數；

（2）設∠DBC=x，∠BAC=y，再根據BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角可得出關于x、y，∠C的方程組，求出∠C的值即可；

（3）延長ED，BC相交于點G，易求∠G的度數，由三角形外角的性質可得結論.

（1）∵∠ABE=∠OAB+∠AOB，∠AOB =90°，

∴∠ABE=∠OAB+90°，

∵BD是∠ABE的平分線，AC平分∠OAB，

∴∠ABE=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，

∴2∠ABD=2∠BAC+90°，

∴∠ABD=∠BAC+45°，

又∵∠ABD= ∠BAC +∠C，

∴∠C=45°．

（2）不變.∠C=∠AOB =45°.

理由如下：

設∠DBA=x，∠BAC=y，

∵BD平分∠EBA，AC平分∠BAO．

∴∠EBD=∠DBA=x，∠OAC=∠BAC=y．

∵∠EBA是△AOB的外角，∠DBA是△ABC的外角，

∴，

∴∠C=45°．

(3) 延長ED，BC相交于點G.

在四邊形ABGE中，

∵∠G＝360°－(∠A＋∠B＋∠E)＝50°，

∴∠P＝∠FCD－∠CDP＝ (∠DCB－∠CDG)

＝∠G＝×50°＝25°.