Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動點，且AE＝BF＝CG＝DH．

（1）判斷四邊形EFGH的形狀．（直接寫結論，不必證明）

（2）設BE＝x，四邊形EFGH的面積為S，請真接寫出S與x的數解析式，并求出S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S＝2（x﹣4）2+32；最小值為32．

【解析】

（1）由正方形的性質得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結論；
（2）根據四邊形EFGH面積為S，BE=x，則BF=8-x，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函數，容易得出四邊形EFGH面積的最小值．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，

∵AE＝BF＝CG＝DH，

∴AH＝BE＝CF＝DG，

在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），

∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵∠BEF+∠BFE＝90°，

∴∠BEF+∠AEH＝90°，

∴∠HEF＝90°，

∴四邊形EFGH是正方形；

（2）設BE＝x，四邊形EFGH的面積為S，則BF＝8﹣x，

根據勾股定理得：EF2＝BE2+BF2＝x2+（8﹣x）2，

∴S＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，

∵2＞0，

∴S有最小值，

當x＝4時，S的最小值＝32，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32．