Question

在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|；
若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|y₁﹣y₂|．
例如：點P₁（1，2），點P₂（3，5），因為|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點P₁與點P₂的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點）．
（1）已知點A（﹣，0），B為y軸上的一個動點，
①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標；
②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線y=x+3上的一個動點，
①如圖2，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；
②如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應的點E與點C的坐標．

Answer 1

（1）①（0，2）或（0，﹣2）  ②
（2）①   C（﹣，）   ②E（﹣，），C（﹣，），1

解：（1）①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的坐標為（0，y）．
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴點B的坐標是（0，2）或（0，﹣2）；
②點A與點B的“非常距離”的最小值為
（2）①如圖2，

取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|”解答，此時|x₁﹣x₂|=|y₁﹣y₂|．即AC=AD，
∵C是直線y=x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），
∴設點C的坐標為（x₀，x₀+3），
∴﹣x₀=x₀+2，
此時，x₀=﹣，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=，
此時C（﹣，）；
②如圖3

當點E在過原點且與直線y=x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，設E（x，y）（點E位于第二象限）．則
，
解得，，
故E（﹣，）．
﹣﹣x₀=x₀+3﹣，
解得，x₀=﹣，
則點C的坐標為（﹣，），
最小值為1．
（1）①根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0﹣y|=2，據此可以求得y的值；
②設點B的坐標為（0，y），因為|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以點A與點B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|=；
（2）①設點C的坐標為（x₀，x₀+3），根據材料“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|”可知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為﹣x₀=x₀+2，據此可以求得點C的坐標；
②當點E在過原點且與直線y=x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，即E（﹣，）．解答思路同上．