Question

【題目】如圖，已知：在平面直角坐標系中，直線l與y軸相交于點A（0，m）其中m＜0，與x軸相交于點B（4，0）．拋物線y=ax2+bx（a＞0）的頂點為F，它與直線l相交于點C，其對稱軸分別與直線l和x軸相交于點D和點E．

（1）設a=，m=﹣2時，

①求出點C、點D的坐標；

②拋物線y=ax2+bx上是否存在點G，使得以G、C、D、F四點為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

（2）當以F、C、D為頂點的三角形與△BED相似且滿足三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1：3時，求拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）①（2，﹣1）②（3，﹣ ）（2）y=x2﹣4x

【解析】試題分析：（1）①根據待定系數法，可得拋物線的解析式，根據配方法，可得頂點坐標；根據解方程組，可得C點坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得D點坐標；

②根據菱形的性質，可得G點坐標，根據平行四邊形的判定，可得答案；

（2）根據待定系數法，可得b與a的關系，根據配方法，可得頂點坐標，根據平行線分線段成比例，可得OH的長，根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據相似三角形的對應角相等，可得∠FCD=90°，根據相思三角形的性質，可得關于a的方程，根據拋物線的開口向上，可得a的值．

試題解析：（1）①如圖1，

，

當a=時，將B點坐標代入，得y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2頂點坐標為（2，﹣2）；

當m=﹣2時，一次函數的解析式為y=x﹣2．

聯立拋物線與直線，得

2﹣2x=x﹣2，

解得x=1，當x=1時，y=﹣，即C點坐標為（1，﹣）．

當x=2時，y=﹣1，即D點坐標為（2，﹣1）；

②假設存在G點，使得以G、C、D、F四點為頂點的四邊形是平行四邊形．

則CG與DF互相平分，而EF是拋物線的對稱軸，且點G在拋物線上

∴CG⊥DF，

∴DCFG是菱形，

∴點C關于EF的對稱點G（3，﹣ ）．

設DF與CG與DF相交于O′點，則DO′=O′F=，CO′=O′G=1，

∴四邊形DCFG是平行四邊形．

∴拋物線y=ax2+bx上存在點G，使得以G、C、D、F四點為頂點的四邊形為平行四邊形，點G的坐標為（3，﹣ ）；

（2）如圖2，

，

∵拋物線y=ax2+bx的圖象過（4，0）點，16a+4b=0，

∴b=﹣4a．

∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的對稱軸是x=2，

∴F點坐標為（2，﹣4a）．

∵三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1：3，

BC：AC=3：1．

過點C作CH⊥OB于H，過點F作FG∥OB，FG與HC交于G點．

則四邊形FGHE是矩形．

由HC∥OA，得BC：AC=3：1．

由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得

HE=1，HB=3．

將C點橫坐標代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．

∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．

∴GH=4a，GC=a．

在△BED中，∠BED=90°，若△FCD與△BED相似，則△FCD是直角三角形

∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°．

∴△BHC∽△CGF，

∴，

∴，

∴a2=1，

∴a=±1．

∵a＞0，

∴a=1．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x．