Question

在平面直角坐標系xOy中，已知動點P在正比例函數y=x的圖象上，點P的橫坐標為m（m＞0）。以點P為圓心，為半徑的圓交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于C、D兩點（D點在點C的上方）。點E為平行四邊形DOPE的頂點（如圖）。
（1）寫出點B、E的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）連接DB、BE，設△BDE的外接圓交y軸于點Q（點Q異于點D），連接EQ、BQ。試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？
（3）連接BC，求∠DBC－∠DBE的度數。

Answer 1

（1）B（3m，0），E（m，4m）（2）線段BQ與線段EQ的長相等，理由見解析（3）45⁰

解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。
（2）線段BQ與線段EQ的長相等。理由如下：
由（1）知B（3m，0），E（m，4m），
∵根據圓的對稱性，點D點B關于y=x對稱，
∴D（0，3m）。
∴，，
。
∴。∴△BDE是直角三角形。
∴BE是△BDE的外接圓的直徑。
設△BDE的外接圓的圓心為點G，則由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。

過點G作GI⊥DG于點I，則I（0，2m）。
根據垂徑定理，得DI="IQ" ，∴Q（0，m）。
∴。
∴BQ=EQ。
（3）延長EP交x軸于點H，則EP⊥AB，BH=2m。

根據垂徑定理，得AH=BH=2m，AO= m。
根據圓的對稱性，OC="OA=" m。
又∵OB=3m，，，
∴。。
又∵∠COB=∠EDB=90⁰，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。
∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。
又∵OB=OC，∴∠DBO=45⁰。∴∠DBC－∠DBE=45⁰。
（1）過點P 作PH⊥x軸于點H，PF⊥y軸于點F，連接OE，BP。

∵點P在正比例函數y=x的圖象上，點P的橫坐標為m（m＞0），
∴ P（m，m），H（m，0），F（0，m），OH="OF=HP=" m。
∵PB=，∴。
∴OB="3" m。∴B（3m，0）。
∵根據圓的對稱性，點D點B關于y=x對稱，∴D（0，3m）。
∵四邊形DOPE是平行四邊形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E（m，4 m）。
（2）由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，從而根據圓周角定理和垂徑定理可得點Q的坐標，從而根據勾股定理可求出BQ和EQ的長比較即得。
（3）求出有關線段的長，可得，從而證得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO=45⁰。