Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連接DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y．

（1）求y關于x的函數關系式；
（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y= ，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵EF⊥DE，

∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，

又∠B=∠C=90°，

∴△BEF∽△CDE，

∴

即

解得y= ；

（2）

解：由（1）得y= ，

將m=8代入，得y=-

=

所以當x=4時，y取得最大值為2；

（3）

解：∵∠DEF=90°，∴只有當DE=EF時，△DEF為等腰三角形，

∴△BEF≌△CDE，

∴BE=CD=m，

此時m=8-x，解方程

= ，

得x=6，或x=2，

當x=2時，m=6，

當x=6時，m=2．

【解析】本題把相似三角形與求二次函數解析式聯系起來，在解題過程中，充分運用相似三角形對應邊的比相等，建立函數關系式．（1）利用互余關系找角相等，證明△BEF∽△CDE，根據對應邊的比相等求函數關系式；（2）把m的值代入函數關系式，再求二次函數的最大值；（3）∵∠DEF=90°，只有當DE=EF時，△DEF為等腰三角形，把條件代入即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．