Question

【題目】如圖,在ABCD中,以點A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B,F為圓心,大于BF的相同長為半徑畫弧,兩弧交于點P;連接AP并延長交BC于點E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形.

(1)根據以上尺規作圖的過程,求證:四邊形ABEF是菱形;

(2)若菱形ABEF的周長為16,AE=,求∠C的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°

【解析】(1)先證四邊形ABEF是平行四邊形，再根據AB=BE即可證明平行四邊形ABEF是菱形；

(2)連接BF交AE于G，由菱形的性質得出AB、AG的長，再由勾股定理求出BG的長，即可證三角形ABF為等邊三角形，最后求出∠C的度數.

證明：在△APB和△APF中,

∵AB=AF,BP=FP,AP=AP,

∴△APB≌△APF.

∴∠EAB=∠EAF.

∵AD∥BC,

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB.

∴BE=AB=AF.

∵AF∥BE,

∴四邊形ABEF是平行四邊形.

∵AB=BE,

∴四邊形ABEF是菱形.　

(2)解:如圖,連接BF,交AE于G.

∵菱形ABEF的周長為16,AE=4,

∴AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=2，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF，

在Rt△ABG中,GB===2,

∴BF=2BG=4.

∴AB=AF=BF=4.

∴△ABF是等邊三角形.

∴∠BAF=60°.

∴∠C=∠BAF=60°.