Question

【題目】已知關于x的一元二次方程mx2－(3m+2) x＋2m＋2＝0(m>0).

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根且其中一個根為定值；

(2)設方程的兩個實數根分別為x1、x2(其中x1<x2)，若y是關于m的函數，且y＝7x1－mx2，求這個函數的表達式；并求當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤3m.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y＝－2m＋5;當m≥1時，y≤3m.

【解析】試題分析：（1）先計算判別式的值得到△=（m+2）2，由m＞0，得到△＞0，根據判別式的意義得到方程有兩個不相等的實數根，再利用求根公式得到x=，可得到方程有一個根為1，于是得到方程有兩個不相等的實數根且其中一根為定值．
（2）解方程得到x1=1，x2=2+，所以y=7-m（2+）=-2m+5，然后解不等式-2m+5≤3m．

試題解析：（1）證明：△=（3m+2）2-4m（2m+2）
=m2+4m+4
=（m+2）2，
∵m＞0，
∴（m+2）2＞0，即△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根，
∵x=，
∴方程有一個根為1，
∴方程有兩個不相等的實數根且其中一根為定值．
（2）∵x=，
∴x1=1，x2=2+，
∴y=7x1-mx2
=7-m（2+）
=-2m+5，
當y≤3m，即-2m+5≤3m，
∴m≥1．