Question

“5•12”汶川大地震后，某健身器材銷售公司通過當地“紅十字會”向災區獻愛心，捐出了五月份全部銷售利潤．已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號器材若干臺，每種型號器材不少于8臺，五月份支出包括這批器材進貨款64萬元和其他各項支出（含人員工資和雜項開支）3.8萬元．這三種器材的進價和售價如下表，人員工資y₁（萬元）和雜項支出y₂（萬元）分別與總銷售量x（臺）成一次函數關系（如圖）
（1）求y₁與x的函數解析式；
（2）求五月份該公司的總銷售量；
（3）設公司五月份售出甲種型號器材t臺，五月份總銷售利潤為W（萬元），求W與t的函數關系式；（銷售利潤=銷售額-進價-其他各項支出）
（4）請推測該公司這次向災區捐款金額的最大值．

型號	甲	乙	丙
進價（萬元•臺）	0.9	1.2	1.1
售價（萬元•臺）	1.2	1.6	1.3

Answer 1

（1）設y₁與x的函數解析式是y₁=kx+b
根據題意得到

b=0.2 20k+b=1.2

解得：

k=0.05 b=0.2

∴y₁與x的關系式為y₁=0.05x+0.2

（2）依題意得：y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，解得：x=60
∴五月份該公司的總銷售量為60臺．

（3）設五月份售出乙種型號器材p臺，則售出丙種型號器材（60-t-p）臺．
則0.9t+1.2p+1.1（60-t-p）=64
解得p=2t-20
∴w=1.2t+1.6（2t-20）+1.3（60-t-2t+20）-64-3.8
即w與t的函數關系式為：w=0.5t+4.2（14≤t≤24）；

（4）依題意有

t≥8 2t-20≥8 60-t-2t+20≥8

解得14≤t≤24
又∵t為正整數
∴t最大為24
∵w是關于t的一次函數，由（3）可知，w隨t的增大而增大．
∴當t=24（臺）時，w最大=0.5×24+4.2=16.2（萬元）
∴該公司這次向災區捐款金額的最大值為16.2萬元．